作业帮若a,b∈R,且4≤a^2+b^2≤9,则a^2-ab+b^2的最大值与最小值之和是那a^2-ab+b^2的几何意义是什么？
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 05:52:11
若a,b∈R,且4≤a^2+b^2≤9,则a^2-ab+b^2的最大值与最小值之和是那a^2-ab+b^2的几何意义是什么？
若a,b∈R,且4≤a^2+b^2≤9,则a^2-ab+b^2的最大值与最小值之和是
那a^2-ab+b^2的几何意义是什么？
若a,b∈R,且4≤a^2+b^2≤9,则a^2-ab+b^2的最大值与最小值之和是那a^2-ab+b^2的几何意义是什么？
4≤a^2+b^2≤9
分别以a,b为横纵坐标,则上式表示的是一个圆环,圆心在坐标原点,内园半径为2,外园半径为3
4-ab≤a^2-ab+b^2≤9-ab
当a,b在内圆上,且a=b=√2时,ab=2最大,则4-ab的最小值为2;
当a,b在外圆上,且a=-b=3√2/2时,ab=-9/2最小,则9-ab的最大值为13.5;
∴最大值与最小值之和是15.5
把(a，b)看成坐标平面上的点，显然满足条件的点在以坐标原点为圆心，半径分别是2和3的圆环内(包括两个圆)的点
当点(a，b)在圆a^2＋b^2＝9上，且a、b的绝对值相等，a、b异号时，即a＝3根号2/2，b＝－3根号2/2或a＝－3根号2/2，b＝3根号2/2时，a^2－ab＋b^2最大，为9＋9/2＝27/2
当点(a，b)在圆a^2＋b^2＝4上，且a、b的绝对值相等，a、...
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把(a，b)看成坐标平面上的点，显然满足条件的点在以坐标原点为圆心，半径分别是2和3的圆环内(包括两个圆)的点
当点(a，b)在圆a^2＋b^2＝9上，且a、b的绝对值相等，a、b异号时，即a＝3根号2/2，b＝－3根号2/2或a＝－3根号2/2，b＝3根号2/2时，a^2－ab＋b^2最大，为9＋9/2＝27/2
当点(a，b)在圆a^2＋b^2＝4上，且a、b的绝对值相等，a、b同号时，即a＝根号2，b＝根号2或a＝－根号2，b＝－根号2时，a^2－ab＋b^2最小，为4－2＝2
故所求的和为15.5
我只是考虑要使它最大，只要使a^2＋b^2最大，同时使－ab最大，即点在外圆上，且在二、四象限的角平分线上；而要使它最小，就是要使a^2＋b^2最小，同时使ab最小，即点在内圆上，且在一、三象限的角平分线上
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因为4≤a^2+b^2≤9，所以a^2+b^2的最少值为4
又因为a,b∈R，所以ab的最大值可以用均值不等式4=a^2+b^2得出：ab的最大值为2
所以最少值a^2-ab+b^2 =a^2+b^2-ab =4-2=2
同理可得：a^2+b^2的最大值为9
用均值不等式a^2+b^2=9得出：ab的最大值为4.5
所以最大值a^2-ab+b^2 =a^2+...
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因为4≤a^2+b^2≤9，所以a^2+b^2的最少值为4
又因为a,b∈R，所以ab的最大值可以用均值不等式4=a^2+b^2得出：ab的最大值为2
所以最少值a^2-ab+b^2 =a^2+b^2-ab =4-2=2
同理可得：a^2+b^2的最大值为9
用均值不等式a^2+b^2=9得出：ab的最大值为4.5
所以最大值a^2-ab+b^2 =a^2+b^2-ab =9-4.5=4.5
最大值+最少值=4.5+2=6.5
均值不等式：对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0
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