求证：5个连续自然数的乘积能被120整除（数学归纳法）如题

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 21:23:15
求证：5个连续自然数的乘积能被120整除（数学归纳法）如题

求证：5个连续自然数的乘积能被120整除（数学归纳法）如题
求证：5个连续自然数的乘积能被120整除（数学归纳法）
如题

求证：5个连续自然数的乘积能被120整除（数学归纳法）如题
设这五个连续自然数为n-2、n-1、n、n+1、n+2.(n∈N且n＞2)
即要证 (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)能被120整除
120=2^3*3*5=2*3*4*5
连续2个自然数中,定有2的倍数,所以连续2个自然数定能被2整除
连续3个自然数中,定有3的倍数,所以连续3个自然数定能被3整除
连续4个自然数中,定有4的倍数,所以连续4个自然数定能被4整除
连续5个自然数中,定有5的倍数,所以连续5个自然数定能被5整除
∴得证,5个连续自然数的乘积能被120整除

不用数学归纳法也行。5个数里，总有一个是5的倍数，总有一个是3的倍数，总有一个是4的倍数，3*4*5=60。
5个数里总有两个是偶数，一个是前面说的4的倍数，另一个是2的倍数，60*2=120。
即5个数乘起来必含因子120。
证毕。

a=1*2*3*4*5=120 b=2*3*4*5*6=6*120=6a C=3*4*5*6*7=6a/2*7=3a*7 所以必定被120整除

设f(n)=∏{k=0->4}(n+k)
1. 5|f(0)=0；
2. 假设5|f(n),
而f(n+1)-f(n)=∏{k=0->4}(n+1+k)-∏{k=0->4}(n+k)=∏{k=0->3}(n+1+k)*(n+5-n)=5∏{k=0->3}(n+k)
根据归纳假设显然可推出5|f(n+1).
证毕。

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