作业帮5个连续自然数的乘积能被120整除(如何证明)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 22:30:52
5个连续自然数的乘积能被120整除(如何证明)
5个连续自然数的乘积能被120整除(如何证明)
5个连续自然数的乘积能被120整除(如何证明)
连续的5个自然数里面里面必然有一个是i的倍数 i=1,2,3,4,5
如果一定要用数学归纳法 可以这样
证明：首先5个连续的自然数是n n+1 n+2 n+3 n+4
1>当n=1时,1*2*3*4*5=120能被120整除
2>假设n=k时结论成立 即120/k*（k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)
当n=k+1时,即（k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)*（k+5）
则（k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)*（k+5）-k*（k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)
=5*（k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)
这里证明连续4个自然数乘积是24的倍数,
同里又要证明3个自然数是6的倍数,
依次又要证明2个连续自然数是2的倍数,
显然2个连续自然数是2的倍数,
即反推回去,得证.
是3 4 5 6 7
3*4*5*6*7=2520
2520/120=21
5个连续自然数，中必有一个5的倍数，一个4的倍数，一个3的倍数，至少一个2的倍数（不算那个4的倍数）
设这五个连续自然数为n-2、n-1、n、n+1、n+2. (n∈N且n＞2)
即要证 (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)能被120整除
120=2^3*3*5=2*3*4*5
连续2个自然数中，定有2的倍数，所以连续2个自然数定能被2整除
连续3个自然数中，定有3的倍数，所以连续3个自然数定能被3整除
连续4个自然数中，定有4的倍数，所以连...
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设这五个连续自然数为n-2、n-1、n、n+1、n+2. (n∈N且n＞2)
即要证 (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)能被120整除
120=2^3*3*5=2*3*4*5
连续2个自然数中，定有2的倍数，所以连续2个自然数定能被2整除
连续3个自然数中，定有3的倍数，所以连续3个自然数定能被3整除
连续4个自然数中，定有4的倍数，所以连续4个自然数定能被4整除
连续5个自然数中，定有5的倍数，所以连续5个自然数定能被5整除
得证，5个连续自然数的乘积能被120整除
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