An表示前n个质数的和,求证:[An,An+1]中至少有一个完全平方数.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 07:27:50
![An表示前n个质数的和,求证:[An,An+1]中至少有一个完全平方数.](/uploads/image/z/5576360-32-0.jpg?t=An%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%89%8Dn%E4%B8%AA%E8%B4%A8%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%92%8C%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%5BAn%2CAn%2B1%5D%E4%B8%AD%E8%87%B3%E5%B0%91%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0.)
An表示前n个质数的和,求证:[An,An+1]中至少有一个完全平方数.
An表示前n个质数的和,求证:[An,An+1]中至少有一个完全平方数.
An表示前n个质数的和,求证:[An,An+1]中至少有一个完全平方数.
设第n个质数为p(n),显然当n≥2时,p(n+1)≥p(n)+2
当n=1时原命题显然成立
当n≥2时
设小于A(n)的最大的完全平方数为k²,则(k+1)²≥A(n),要证原命题,只需证(k+1)²≤A(n+1)
又A(n+1)=A(n)+p(n+1),(k+1)²=k²+2k+1<A(n)+2k+1,故又只需证p(n+1)≥2k+1.而p(n+1)≥p(n)+2,故又只需证p(n)≥2k-1
下用反证法证明p(n)≥2k-1
假设p(n)<2k-1,则2k-1>p(2)=3,所以k>2,即k≥3.
那么A(n)=p(1)+p(2)+...+p(n)=2+p(2)+p(3)+...+p(n)
而p(2),p(3),...,p(n)为(2,2k-1)上的互不相同的奇数,故它们的和不超过(2,2k-1)上所有奇数的和,即p(2)+p(3)+...+p(n)≤3+5+...+2k-3=k(k-2)=k²-2k
故A(n)≤k²-2k+2,又A(n)>k²,则k²<k²-2k+2,得k<1.
这与k≥3矛盾!说明假设不成立,即p(n)≥2k-1得证
于是原命题得证
这个我觉得就不对,举一个例子:
A2=2+3=5,A3=2+3+5=10,他们都不是完全平方数
An表示前n个质数的和,求证:[An,An+1]中至少有一个完全平方数.
已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=S(n-1)+3n,a1=1(1)试用an表示a(n+1)(2)设bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列
an=1/根号n ,若Tn表示1/(an*an+1)的前n项和,bn=Tn-(n+1)平方/2,求证:bn+1
已知数列{an}中,a1=1,an/(a(n+1)-2an)=n/2,n=1,2,3...1.求证:数列{an/n}是等比数列2.求数列{an}的前n项和Sn
已知数列an的前n项和为sn sn=2-an求证an是等比数列主要怎么求证a=1≠0?
已知数列an=(1/n)平方,求证an的前n项和Sn
高中数学 已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0,n∈N*) ①求证{an}是等比数列高中数学已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0,n∈N*) ①求证{an}是等比数列
在数列an中,已知a1=2,an+1=2an/an +1,令bn=an(an -1).求证bn的前n项和
dn=1/n2,数列dn的前n项和为An,求证:An
已知数列(an)满足a1=1,a下标(n+1)=2an+3.求证数列(an +3)是等比数列.求an的表达式.求数列(an)的前n项的和.
设数列an的前n项和为Sn,满足an+Sn=An^2+Bn+1(A不等于0),a1=3/2,a2=9/4,求证an-n为等比数列并求an
在数列an中a1=2,a(n+1)下标=4an-3n+1 1设bn=an-n求证bn是等比数列 2求数列an的前n项和sn
已知数列{an}的前n项和sn满足sn=an^2+bn,求证{an}是等差数列
已知{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=4求证:数列{an}是等比数列
数列{an}的前n项和为Sn=2-2an,n∈N*.求证:数列{an}为等比数列,并求通项an
设数列{an}中,a1=1且an+1=3an+4,求证{an+2}是等比数列求{an}的前n项和为Sn
设数列{an},a1=3,前n项a(n+1)=3a-2 求证数列{(an)-1}为等比数列2,求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的公式
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有an是n与Sn的等差中项,1.求证:an=2a(n-1)+1(n>=2) 2.求证:数列{an+1}为等比数列3.求数列{an}的前n项和Sn