作业帮已知AD、BE是三角形ABC的两条中线,AD和BE相交于G,F在BE上 ,且AF/AB=EF/BF,AB=5,AC=8,BE=6,求FG的长
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 05:06:49
已知AD、BE是三角形ABC的两条中线,AD和BE相交于G,F在BE上 ,且AF/AB=EF/BF,AB=5,AC=8,BE=6,求FG的长
已知AD、BE是三角形ABC的两条中线,AD和BE相交于G,F在BE上 ,且AF/AB=EF/BF,AB=5,AC=8,BE=6,求FG的长
已知AD、BE是三角形ABC的两条中线,AD和BE相交于G,F在BE上 ,且AF/AB=EF/BF,AB=5,AC=8,BE=6,求FG的长
图也作出来了,经过反复的试解,发现题设条件有问题：AF/AB=EF/BF,与所求FG挂不上,即于解题无助.如果改为：AE:AB=EF:BF,就可解了.
现在求解如下：
由题设知：AE=EC=1/2AC=4；
在△ ABE中利用余弦定理求角A:
comA=(AB^2+AE^2-BE^2)/2*AB*AE
=(5^2+4^2-6^2)/2*5*4=5/40=1/8
故,角A=arccom(1/8)=82.82度
又,sinA=根号（1-con^2A=根号63/8=3根号7/8
在△ABC中应用余弦定理求BC:
BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*conA
=25+64-2*5*8*(1/8)=79
故BC=根号79＝8.9
在△ABC中应用正弦定理求B角：
conB=(AB^2+BC^2-AC^2)/2*AB*BC
=(26+79-64)/2*5*8.9=0.4499
故 B=arccon(0.4499)=63.26度
角C=180-A-B=180-82.82-63.26=33.92度
在△ADC中应用余弦定理求AD:
AD^2=AC^2+DC^2-AC*DC*conC
=8^2+(8.9/2)^2-2*8*4.5*con33.92
=64+20.25-72*0.8298=24.5
故AD=根号24.5=4.95=5 (约）
在△ABE中应用正弦定理角ABE:
BE/sinA=AE/sinABE
sinABE=AE*sinA/BE=(4*0.9922)/6=0.6614
故 角ABE=arcsin(0.6614)=41.40度
应G点为两中线的交点,即三角形的重心.
故 AG=(2/3)AD=10/3；BG=(2/3)BE=4
在△AGB中应用正弦定理求角BAG:
AG/sinABE=BG/sinBAG
sinBAG=BG*sinABE/AG=1.2*0.6614=0.7937
故 角BAG= arcsin(0.7937)=52.53度
应 角DBG=角B-角ABE=63.26-41.40=21.86度
在△BGD中应用正弦定理求角BGD:
BD/sinBGD=GD/sinDBG
故 sinBGD=BD*sinDBG/GD=3*8.9*0.3723/10=0.9941
角BGD=arcsin(0.9941)=83.77度
因 AE/AB=EF/BF (原AF/AB=EF/BF)
故 AF为角A的平分线 （角平分线性质）
故 角BAF＝角FAE=1/2A=82.82/2=41.41 度
故 角FAG=角BAG-角BAF=52.53-41.41=11.12度
因 角BGD=角FAG+角AFG (三角形外角＝不相邻两角之和）
故 角AFG=角BGD-角FAG=83.77-11.12=72.65度
在△GAF中应用正弦定理求FG:
AG/sinAFG=FG/sinFAG
故 FG=[(10/3)sinFAG]/sinAFG
=0.67 (长度单位）
答：所求FG=0.67 (长度单位）
没有图这题真做不了，BE=6，F在BE上，是在BF=1的位置上，还是在BF=5的位置上，
请上传附图吧，不是很好理解。