f(x)=x.e^(-x) 证明:若f(x1)=f(x2),则x1+x2>2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 11:20:55

f(x)=x.e^(-x) 证明:若f(x1)=f(x2),则x1+x2>2
f(x)=x.e^(-x) 证明:若f(x1)=f(x2),则x1+x2>2

f(x)=x.e^(-x) 证明:若f(x1)=f(x2),则x1+x2>2
证明：
f(x)=xe^(-x)
则f'(x)=(1-x)e^(-x),
当f'(x)=0时,x=1
故x＞1时,f'(x)＜0；当x＜1时,f'(x)＞0.
所以,在x=1时f(x)取得极大值和最大值.
又当x趋近于+∞时,f(x)正向趋近于0,且f(0)=0,
所以,如果存在x1≠x2使得f(x1)=f(x2),不失一般性令x1＜x2,则0＜x1＜1,x2＞1.
对于任意的x∈(0,1),分别取两点1-x、1+x.现在比较f(1-x)和f(1+x)的大小.
f(1+x)-f(1-x)=[1+x-(1-x)e^(2x)]/e^(1+x)
令分子部分为g(x)=1+x-(1-x)e^(2x),x∈(0,1).
有g'(x)=1+(2x-1)e^(2x),x∈(0,1).
当x=0时,g'(x)=0；
当x＞0时,1+(2x-1)e^(2x)单调递增且大于0.
所以,在(0,1)上g(x)是单调增函数,且g(x)＞g(0)=0,有f(1+x)-f(1-x)＞0,
即f(1+x)＞f(1-x)
因为0＜1-x＜1,1+x＞1,f(x)在[1,+∞)上单调递减且f(1+x)＞f(1-x)
所以在1+x点的右侧必能找到一点x2,使得f(1-x)=f(x2),x2＞1+x.
故(1-x)+x2＞(1-x)+(1+x)=2
令1-x=x1,
则为x1+x2＞2 得证

已知f(x)=e^x-e^-x-2x证明f(x)是奇函数有一个函数f(x),f(x)=f'(x),f(0)=1,证明：f(x)=e^x 证明:若函数f(x)在满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e^x 证明：若函数f(x)在(-oo,+oo)内满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e^x 证明:若函数f(x)在满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e^x如题证明若函数f(x)在R内可导且f'(x)=f(x),f(0)=1,则f(x)=e^x 证明:若函数f(x)在(-∞,+∞)内满足不等式f'(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e∧x f(x)=x.e^(-x) 证明:若f(x1)=f(x2),则x1+x2>2 设f(x)=e的y次方,证明：（1）,f(x)f(y)=f(x+y) ,(2),f (x)/f(y)=f(x-y) f(x)=f'(x) ,f(0)=1,证明f(x)=e的x次方若F(x)=f(x)+f(-x),且f'(x)存在,证明F'(x)为奇函数. 若f''(x)存在,证明:[f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]/(h^2)=f''(x) 已知f(x)对一切x满足xf(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x) 若f(x)在x=0处取极值,证明:x=0是f(x)的极小值点已知f(x)对一切x满足xf(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x) 若f(x)在x=0处取极值,证明:x=0是f(x)的极小值点xiexie 若f(x)=ln x,证明f(x)+f(x+1)=f[x(x+1)] 设函数f( x)=1-e^-x证明x>-1时,f(x)>=x/x+1 f(x+y)=f(x)f(y),证f(x)是是以e为底的指数函数?如何证明若f(x)=(e^x-e^-x)/2,g(x)=(e^x+e^-x)/2,则用f(x),g(x)表示f(2x)的结果是?