作业帮在一块长方形的铁片中剪三个半径是2厘米的圆形铁片,长方形铁片的长至少是多少厘米,宽是多少厘米?请列出算式的哦
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 08:04:47
在一块长方形的铁片中剪三个半径是2厘米的圆形铁片,长方形铁片的长至少是多少厘米,宽是多少厘米?请列出算式的哦
在一块长方形的铁片中剪三个半径是2厘米的圆形铁片,长方形铁片的长至少是多少厘米,宽是多少厘米?
请列出算式的哦
在一块长方形的铁片中剪三个半径是2厘米的圆形铁片,长方形铁片的长至少是多少厘米,宽是多少厘米?请列出算式的哦
长至少是2乘以2乘以3=12
宽是2乘以2=4
题目的意思求当长方形的面积最小时的长和宽吧
把三个圆放在同一水平线上,并使相邻的两个圆外切,把中间的圆向上平移,平移过程中始终保持相邻的两个圆外切,最终三个圆两两外切,即求该过程中与三个圆外切的直线所构成的长方形的最小面积
相邻的圆的连心线长度为2+2=4cm
设在两侧的圆的连心线与相邻的圆的连心线所构成的角度为x
由平面几何知识易知
x∈[0,π/3]
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题目的意思求当长方形的面积最小时的长和宽吧
把三个圆放在同一水平线上,并使相邻的两个圆外切,把中间的圆向上平移,平移过程中始终保持相邻的两个圆外切,最终三个圆两两外切,即求该过程中与三个圆外切的直线所构成的长方形的最小面积
相邻的圆的连心线长度为2+2=4cm
设在两侧的圆的连心线与相邻的圆的连心线所构成的角度为x
由平面几何知识易知
x∈[0,π/3]
两侧的圆的连心线长度为2•4cosx=8cosx
长方形的长为2+2+8cosx=4+8cosx
中间的圆的圆心到两侧的圆的连心线的距离为4sinx
长方形的宽为2+2+4sinx=4+4sinx
长方形的面积为(4+8cosx)(4+4sinx)
设y=(4+8cosx)(4+4sinx)
y=(4+8cosx)(4+4sinx)
=16+16sinx+32cosx+32sinxcosx
=16+16sinx+32cosx+16sin2x
求导y'=16cosx-32sinx+32cos2x
二阶导数y''=-16sinx-32cosx-64sin2x
x∈[0,π/3]则sinx＞0,cosx＞0,sin2x＞0
即y''=-16sinx-32cosx-64sin2x＜0
y的图象下凹,y单调递增
即当x=0时,y有最小值
长方形的长为4+8cos0=12cm,长方形的宽为4+4sin0=4cm
当长方形的面积最小时,长为12cm,宽为4cm
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