作业帮已知数列{an}中,a1=5/6,a2=19/36,且数列｛bn}是公差为-1的等差数列,其中b1＝Log2 [a(n+1)-an/3];数列｛cn}是公比为1/3的等比数列,其中cn＝a(n+1)-an/2.求数列｛an}的通项公式及它的前n项和Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 05:59:19
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已知数列{an}中,a1=5/6,a2=19/36,且数列｛bn}是公差为-1的等差数列,其中b1＝Log2 [a(n+1)-an/3];数列｛cn}是公比为1/3的等比数列,其中cn＝a(n+1)-an/2.求数列｛an}的通项公式及它的前n项和Sn
已知数列{an}中,a1=5/6,a2=19/36,且数列｛bn}是公差为-1的等差数列,其中b1＝Log2 [a(n+1)-an/3];数列｛cn}是公比为1/3的等比数列,其中cn＝a(n+1)-an/2.求数列｛an}的通项公式及它的前n项和Sn
已知数列{an}中,a1=5/6,a2=19/36,且数列｛bn}是公差为-1的等差数列,其中b1＝Log2 [a(n+1)-an/3];数列｛cn}是公比为1/3的等比数列,其中cn＝a(n+1)-an/2.求数列｛an}的通项公式及它的前n项和Sn
an=3/(2^n)-2/(3^n)
Sn=2-3/(2^n)+1/(3^n)
由bn是等差数列得[an-a(n-1)/3]/[a(n+1)-an/3]=2
由cn是等比数列得[a(n+1)-an/2]/[an-a(n-1)/2]=1/3
由上两式可以整理出6a(n+1)-5an=-a(n-1)[n>1]
即3[2a(n+1)-an]=2an-a(n-1)
令dn=2a(n+1)-an,则3dn=d(n-1)[n>1]
d1=2/9,dn=2/9*(1/3)^(n-1)=2a(n+1)-an
a(n+1)=an/2+1/9*(1/3)^(n-1)
将an叠代入上式中就有:
an=1/9*[(1/3)^(n-2)+1/2*(1/3)^(n-3)+.+(1/2)^(n-3)*(1/3)+(1/2)^(n-2)]+a1*(1/2)^(n-1)
=3/(2^n)-2/(3^n)
Sn=a1+a2+.+an=3*[1/2+(1/2)^2+.+(1/2)^n]-2*[1/3+(1/3)^2+.+(1/3)^n]=2-3/(2^n)+1/(3^n)