作业帮急,求帮助：高中数列题目求解答过程!谢谢已知数列｛an｝中,a1=1/2（本人视力问题,此处可能为an=1/2）,前n项和为Sn,若Sn=n²·an,求Sn和an的表达式. 速求解答过程,感激不尽!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 20:48:59
急,求帮助：高中数列题目求解答过程!谢谢已知数列｛an｝中,a1=1/2（本人视力问题,此处可能为an=1/2）,前n项和为Sn,若Sn=n²·an,求Sn和an的表达式. 速求解答过程,感激不尽!
急,求帮助：高中数列题目求解答过程!谢谢
已知数列｛an｝中,a1=1/2（本人视力问题,此处可能为an=1/2）,前n项和为Sn,若Sn=n²·an,求Sn和an的表达式.
速求解答过程,感激不尽!
急,求帮助：高中数列题目求解答过程!谢谢已知数列｛an｝中,a1=1/2（本人视力问题,此处可能为an=1/2）,前n项和为Sn,若Sn=n²·an,求Sn和an的表达式. 速求解答过程,感激不尽!
n=1时,a1=1/2
n≥2时,
Sn=n²×an S(n-1)=(n-1)²×a(n-1)
an=Sn-S(n-1)=n²×an -(n-1)²×a(n-1)
(n²-1)an=(n-1)²×a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)²a(n-1)
n>1,等式两边同除以n-1
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
…………
a2/a1=1/3
连乘
an/a1=(1/3)(2/4)...[(n-1)/(n+1)]=[1×2×...×(n-1)]/[3×4×...×(n+1)]=2/[n(n+1)]
an=2a1/[n(n+1)]=2×(1/2)/[n(n+1)]=1/[n(n+1)]=1/n - 1/(n+1)
n=1时,a1=1/1-1/2=1/2,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=1/n - 1/(n+1)
Sn=n²×an=n²×[1/n -1/(n+1)]=n²/[n(n+1)]=n/(n+1)
Sn=n²*an
S(n-1)=(n-1)²*a(n-1)
an=Sn-S(n-1)
=n²*an-(n-1)²*a(n-1)
(n²-1)*an=(n-1)²*a(n-1)
(n+1)*an=(n-1)*a(n-1)
设数列｛bn｝，令bn=n*an
则an=bn/n
代入...
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Sn=n²*an
S(n-1)=(n-1)²*a(n-1)
an=Sn-S(n-1)
=n²*an-(n-1)²*a(n-1)
(n²-1)*an=(n-1)²*a(n-1)
(n+1)*an=(n-1)*a(n-1)
设数列｛bn｝，令bn=n*an
则an=bn/n
代入得(n+1)*bn/n=b(n-1)
即(n+1)*bn=n*b(n-1)
则数列｛(n+1)*bn｝是公比为1的等比数列
则有(n+1)*bn=(1+1)*b1=2*1*a1=1
所以bn=1/(n+1)
an=bn/n=1/[n*(n+1)]=1/n-1/(n+1)
Sn=a1+a2+……+a(n-1)+an
=1/1-1/2+1/2-1/3+……+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
收起
是a1为1/2，Sn-1=an*n^2 - an = an(n+1)(n-1) ① 则Sn=an+1(n+2)n ②
拿②除以原式，得1=an+1/an=n/(n+2)。。。省略一步。。。
消去即得an+1/a1=2/(n+1)(n+2)
则an+1=1/(n+1)(n+2)
即an=1/n(n+1)
你先看吧，累死我了。
接着
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是a1为1/2，Sn-1=an*n^2 - an = an(n+1)(n-1) ① 则Sn=an+1(n+2)n ②
拿②除以原式，得1=an+1/an=n/(n+2)。。。省略一步。。。
消去即得an+1/a1=2/(n+1)(n+2)
则an+1=1/(n+1)(n+2)
即an=1/n(n+1)
你先看吧，累死我了。
接着
1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
Sn=a1+a2+a3.....+an=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4....+1/n-1/(n+1)=n/(n+1)
收起