作业帮几何题：P为正△ABC内任意一点,P到AB,AC,BC距离分别为PE,PF,PD,连接AP,BP,CP P为正△ABC内任意一点,P到AB,AC,BC距离分别为PE,PF,PD,连接AP,BP,CP求证S△APF+S△CPD+S△BPE=1/2S△ABC
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 23:36:35
几何题：P为正△ABC内任意一点,P到AB,AC,BC距离分别为PE,PF,PD,连接AP,BP,CP P为正△ABC内任意一点,P到AB,AC,BC距离分别为PE,PF,PD,连接AP,BP,CP求证S△APF+S△CPD+S△BPE=1/2S△ABC
几何题：P为正△ABC内任意一点,P到AB,AC,BC距离分别为PE,PF,PD,连接AP,BP,CP
P为正△ABC内任意一点,P到AB,AC,BC距离分别为PE,PF,PD,连接AP,BP,CP求证S△APF+S△CPD+S△BPE=1/2S△ABC
几何题：P为正△ABC内任意一点,P到AB,AC,BC距离分别为PE,PF,PD,连接AP,BP,CP P为正△ABC内任意一点,P到AB,AC,BC距离分别为PE,PF,PD,连接AP,BP,CP求证S△APF+S△CPD+S△BPE=1/2S△ABC
如图所示,过点P作MN//BC,分别交AB,AC于M,N
过点P作XY//AC,分别交BA,BC于X,Y
过点P作UV//AB,分别交CB,CA于U,V
则易知△PVN,△PMX,△PUY都是等边△
∵PD,PE,PF分别⊥UY,MX,VN
∴VF=FN,ME=EX,UD=DY
∴S△PFV=S△PFN,S△PEM=S△PEX,S△PDU=S△PDY
又PVAX,PMBU,PYCN都是平行四边形
∴S△PAV=S△PAX,S△PBM=S△PBU,S△PCY=S△PCN
∴S△APF+S△CPD+S△BPE
=(S△PAV+S△PFV)+(S△PCY+S△PDY)+(S△PBM+S△PEM)
=(S△PAX+S△PFN)+(S△PCN+S△PDU)+(S△PBU+S△PEX)
=(S△PAX+S△PEX)+(S△PCN+S△PFN)+(S△PBU+S△PDU)
=S△PAE+S△PCF+S△PBD
而(S△APF+S△CPD+S△BPE)+(S△PAE+S△PCF+S△PBD)=S△ABC
∴S△APF+S△CPD+S△BPE=(1/2)S△ABC