作业帮设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又f-1(f-1(x))=4x-12,试求f(x)表达式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 16:19:26
设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又f-1(f-1(x))=4x-12,试求f(x)表达式
设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又f-1(f-1(x))=4x-12,试求f(x)表达式
设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又f-1(f-1(x))=4x-12,试求f(x)表达式
∵f（x）是一次函数
∴设f（x）=ax+b
∴f^-1(x)=(x-b)/a
∴f^-1[f^-1（x）]=（1/a）[（x-b）/a-b]
=x/a²-（ab+b）/a²
∵f^-1[f^-1（x）]=4x-12
∴x/a²-（ab+b）/a²=4x-12
1/a²=4
（ab+b）/a²=12
∵a＞0
∴a=1/2 b=2
∴f（x）=1/2x+2
设f(x) = ax + b，由于f(x)是增函数，因此a>0.
下面求反函数，令y = ax + b，反解得到x = (y - b)/a ，得到
f^(-1) (x) = (x-b)/a，（其中f^(-1)是f反函数的意思）
从而f^(-1) [ f^(-1) (x) ] = [ f^(-1) (x) - b ]/a
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设f(x) = ax + b，由于f(x)是增函数，因此a>0.
下面求反函数，令y = ax + b，反解得到x = (y - b)/a ，得到
f^(-1) (x) = (x-b)/a，（其中f^(-1)是f反函数的意思）
从而f^(-1) [ f^(-1) (x) ] = [ f^(-1) (x) - b ]/a
= [ (x-b)/a - b ]/ a
= x/a^2 - (b+b/a^2)
由于已知f^(-1) [ f^(-1) (x) ] = 4x - 12，因此，
1/a^2 = 4, a = 1/2（因为a必须大于零）
b+b/a^2 = 12， b = 12/(1+1/a^2) = 12/(1+4) = 12/5，因此f(x)表达式为：
f(x) = x/2 + 12/5.
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