作业帮（高中奥数）集合A={1,2,3,4.2n,2n+1}子集B满足：任意的x.y∈B,x+y不∈B,集合B中元素个数的最大值为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 10:36:50
（高中奥数）集合A={1,2,3,4.2n,2n+1}子集B满足：任意的x.y∈B,x+y不∈B,集合B中元素个数的最大值为
（高中奥数）集合A={1,2,3,4.2n,2n+1}子集B满足：任意的x.y∈B,x+y不∈B,集合B中元素个数的最大值为
（高中奥数）集合A={1,2,3,4.2n,2n+1}子集B满足：任意的x.y∈B,x+y不∈B,集合B中元素个数的最大值为
集合B中元素个数的最大值为n+1.
取B={1,3,5,…,2n+1},则此集合中任意两个数之和为偶数,符合题意.
下面证明取A中任何n+2个元素组成的集合B,一定有两个数之和仍然在B中.
用数学归纳法证明.
当n=1时,A={1,2,3},取A中3个元素的集合B={1,2,3},显然有1+2=3,结论成立.
假设n时结论成立,即A={1,2,3,…,2n,2n+1}中任意n+2个元素的集合B必有两个数之和仍在B中.
对于n+1时,A={1,2,3,…,2n+1,2n+2,2n+3},从A中任取n+3个元素组成集合B.下面证明B中必有两个数之和仍在B中.
若所取的n+3个数不含有2n+2或2n+3,那么必在{1,2,3,…,2n,2n+1}中取出n+2个数.由归纳假设,必有两个数之和在B中,结论成立.
对所取的n+3个数含有2n+2和2n+3,则要在{1,2,3,…,2n,2n+1}取出n+1数.下面证明2n+3必可以表示成B中的两个数之和.
将1,2,3,…,2n+1,2n+2这2n+2个数分成n+1组(1,2n+2)、(2,2n+1)、(3,2n)、…、(n+1,n+2),从中取出n+2个数中必有两个数在同一组.由于2n+3=1+(2n+2)=2+(2n+1)=3+2n=…=(n+1)+(n+2),故在1,2,3,…,2n,2n+1,2n+2所取的n+2必有两个数之和等于2n+3.
由数学归纳法原理可知集合A中任取n+2个数的集合B,在B中必有两数之和仍在B中.
因此,B中元素个数最大值为n+1.
由于任意的x.y∈B，x+y不∈B，所以应使B中的元素为等比数列，因为A中都是整数，所以要使集合B中元素个数的最大，则等比的比为2，即集合B中元素为 1， 2， 4， 8，16, ... 所以最多元素个数为log(2)(2n+1)取整后再加1。
集合B中元素为 1， 2， 4， 8，16, ... 这些数是表示其他数的“基”
最大个数为 log(2) (2n+1) 下取整 + 1
集合A中任意两元素之和∈｛3，4，……4n+1｝
当两元素和大于2n+1时一定满足条件
要使集合B中元素个数的最大，可取集合B1=｛n+1,n+2,...,2n+1｝
此时只能知道该集合满足条件，但不能确定是最大值，下面证明：
假设存在集合B2满足条件且元素个数大于B1，则存在a≤n，且a∈B2，则a+n+1≤2n+1
所以若将a放入集合B1中，为满足条件至...
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集合A中任意两元素之和∈｛3，4，……4n+1｝
当两元素和大于2n+1时一定满足条件
要使集合B中元素个数的最大，可取集合B1=｛n+1,n+2,...,2n+1｝
此时只能知道该集合满足条件，但不能确定是最大值，下面证明：
假设存在集合B2满足条件且元素个数大于B1，则存在a≤n，且a∈B2，则a+n+1≤2n+1
所以若将a放入集合B1中，为满足条件至少需去掉B1中某一元素b(b＞n)
由此可得集合B2元素个数不大于B1
综上B1元素个数为最大值，即n+1
收起
n+1