线性代数高手请进.A,B代表两个n阶矩阵.r代表矩阵的秩.已知AB=0,A ≠0,那麽为什么r(A)+r(B)≦n呢?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 06:45:24
线性代数高手请进.A,B代表两个n阶矩阵.r代表矩阵的秩.已知AB=0,A ≠0,那麽为什么r(A)+r(B)≦n呢?

线性代数高手请进.A,B代表两个n阶矩阵.r代表矩阵的秩.已知AB=0,A ≠0,那麽为什么r(A)+r(B)≦n呢?
线性代数高手请进.A,B代表两个n阶矩阵.r代表矩阵的秩.已知AB=0,A ≠0,那麽为什么r(A)+r(B)≦n呢?

线性代数高手请进.A,B代表两个n阶矩阵.r代表矩阵的秩.已知AB=0,A ≠0,那麽为什么r(A)+r(B)≦n呢?
首先,AB=0
根据线性方程组理论,B为A的解向量.
如B为A的基础解向量,则
r(B)=n-r(A)
如果B不是其基础解向量,说明B中的列向量不是线性无关的,则
r(B)

由已知AB=0,所以B的列向量都是AX=0的解, 而AX=0的基础解系含n-r(A)个向量,
所以r(B) ≤ n - r(A).
所以 r(A) + r(B) ≤ n.
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