不等式证明.望得到满意回答~高数,中值定理,考研

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不等式证明.望得到满意回答~高数,中值定理,考研
被你这题整死啊!你确定你的题正确吗?

好难

可以把右边移到左边，把其中的一个看做常量，构造函数用求导的方法看能不能证明出来，来自博远福师大研友的答案希望对你有有所帮助。

下面靠你们了，函数给你们构造出来了 里面的取值也有了§克西是1/y到1/x的取值

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取x=∏/2，y=∏，可知不等式不成立。

已被虐半小时，有了答案告诉下

看完此题，深觉虐心，已高三，我竟然毫无思路，天哪…这真的是高数么？~> .~>

想了好几天, 刚想出一部分结果, 已经采纳了一个错误的证明...
Cauchy不等式是不适用于虚数的.
要不然会得到4 = (1·1+i·(-i))² ≤ (1²+i²)(1²+(-i)²) = 0这样的错误结论.
这道题真的很难, 我目前只能证明如下结果:
(1) 若sin(x)sin(y) ≥ 0, 则|sin(...

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想了好几天, 刚想出一部分结果, 已经采纳了一个错误的证明...
Cauchy不等式是不适用于虚数的.
要不然会得到4 = (1·1+i·(-i))² ≤ (1²+i²)(1²+(-i)²) = 0这样的错误结论.
这道题真的很难, 我目前只能证明如下结果:
(1) 若sin(x)sin(y) ≥ 0, 则|sin(x)/x-sin(y)/y| ≤ √(2|1/x-1/y|).
(2) 对任意x, y > 0, 有|sin(x)/x-sin(y)/y| ≤ √(3|1/x-1/y|).
首先证明: 对任意x, y > 0, 有|sin²(x)/x²-sin²(y)/y²| ≤ 2|1/x-1/y| ①.
记f(x) = sin²(x)/x², g(x) = 1/x, h(x) = f'(x)/g'(x) = -2sin(x)cos(x)+2sin²(x)/x.
由Cauchy中值定理, 对任意取定的x, y > 0, 存在z > 0满足:
|f(x)-f(y)| = |g(x)-g(y)|·|f'(z)/g'(z)| = |g(x)-g(y)|·|h(z)|.
因此只需证明|h(z)| ≤ 2.
一方面, h(z) = -2sin(z)cos(z)+2sin²(z)/z ≥ -sin(2z) ≥ -1.
另一方面, 当0 < z < π/2, 有:
h(z) = -sin(2z)+2sin²(z)/z < 2sin²(z)/z < 2sin(z) ≤ 2 (∵sin(2z) > 0, sin(z) < z).
而当z ≥ π/2 > 4/3, 有:
h(z) = -sin(2z)-1/z·cos(2z)+1/z
= -√(1+1/z²)·sin(2z+θ)+1/z
≤ √(1+1/z²)+1/z
< 2 (∵√(1+1/z²)+1/z单调递减, 且在z = 4/3时取值为2).
综合得-1 ≤ h(z) < 2, 从而|h(z)| < 2.
这样就证明了①式.
当ab ≥ 0时, 易得|a-b| ≤ |a+b|, 从而|a-b|² ≤ |a-b|·|a+b| = |a²-b²|.
由此不等式, 当sin(x)sin(y) ≥ 0时, |sin(x)/x-sin(y)/y|² ≤ |sin²(x)/x²-sin²(y)/y²|.
又由①得|sin²(x)/x²-sin²(y)/y²| ≤ 2|1/x-1/y|.
因此|sin(x)/x-sin(y)/y|² ≤ 2|1/x-1/y|.
开方即得结论(1).
由√(2|1/x-1/y|) ≤ √(3|1/x-1/y|), 要证明结论(2), 只需证明sin(x)sin(y) < 0的情形.
不妨设x < y, 则存在正整数k使x < kπ < y.
由|sin(y)| = |sin(y-kπ)| < y-kπ, 以及|sin(y)| ≤ 1, 可得|sin(y)| < √(y-kπ),
进而|sin(y)/y| < √(y-kπ)/y < √(y-kπ)/√(ykπ) = √(1/(kπ)-1/y).
另一方面, 在①中取y = kπ得|sin(x)/x| ≤ √(2(1/x-1/(kπ))).
于是|sin(x)/x-sin(y)/y| ≤ |sin(x)/x|+|sin(y)/y|
≤ √(2(1/x-1/(kπ)))+√(1/(kπ)-1/y)
≤ √(2+1)·√((1/x-1/(kπ))+(1/(kπ)-1/y)) (Cauchy不等式)
= √(3(1/x-1/y)).
这样就证明了结论(2).
至于如何在sin(x)sin(y) < 0的情形证明原题的结论,
我现在只想到一些琐碎的结果和冗长的讨论.
所以暂时不考虑写在这里.

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