若a,b,c,属于R+证明a^2+b^2+c^2大于或等于ab+bc+ac

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 16:50:21
若a,b,c,属于R+证明a^2+b^2+c^2大于或等于ab+bc+ac

若a,b,c,属于R+证明a^2+b^2+c^2大于或等于ab+bc+ac
若a,b,c,属于R+证明a^2+b^2+c^2大于或等于ab+bc+ac

若a,b,c,属于R+证明a^2+b^2+c^2大于或等于ab+bc+ac
最简单的方法就是:
a^2+b^2≥2ab
b^2+c^2≥2bc
c^2+a^2≥2ca
上面相加得到:2(a^2+b^2+c^2)≥2(ab+bc+ca)
∴a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac

因:a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)
=1/2{(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²}≥0
所以:a²+b²+c²≥ab+bc+ac

由(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²≥0
可得a²+b²+c²≥ab+bc+ac

证明
∵(a-b)^2≥0
(a-c)^2≥0
(b-c)^2≥0
∴ (a-b)^2 +(a-c)^2+(b-c)^2≥0 化简得
2(a²+b²+c²)-2(ab+bc+ac)≥0
∴ a²+b²+c²≥ab+bc+ac