作业帮希望杯邀请赛试题平面上有若干个点,其中任意三点都不在同一条直线上,将这些点分成三组,并按下面规则用线段连接：①在同一组的任意两点都没有线段连接.②不在同一组的任意两点间一定
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 12:18:31
希望杯邀请赛试题平面上有若干个点,其中任意三点都不在同一条直线上,将这些点分成三组,并按下面规则用线段连接：①在同一组的任意两点都没有线段连接.②不在同一组的任意两点间一定
希望杯邀请赛试题
平面上有若干个点,其中任意三点都不在同一条直线上,将这些点分成三组,并按下面规则用线段连接：
①在同一组的任意两点都没有线段连接.
②不在同一组的任意两点间一定有线段连接.
（1）若平面上恰好有9个点,且平均分成三组,那么平面上有多少条线段?
（2）若平面上恰好有9个点,且点数分成2,3,4组,那么平面上有多少条线段?
（3）若平面上共有192条线段,那么平面上至少有多少个点?
希望杯邀请赛试题平面上有若干个点,其中任意三点都不在同一条直线上,将这些点分成三组,并按下面规则用线段连接：①在同一组的任意两点都没有线段连接.②不在同一组的任意两点间一定
(1) 平均分成3组,每组3个点
那么一共有线段3*3+3*3+3*3=27条
（2） 分成分别是2,3,4 的3组
那么一共有线段2*3+3*4+2*4=26条
（3）假设一共有n个点,被分成了 a,b,c3组
那么有a+b+c=n,ab+ac+bc=192
因为(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0
2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ac
即a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac
所以n^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac>=3(ab+bc+ac)=3*192=576
n>=√576=24
即至少要24个点
（1）对一组内的三个点，每个点可以连6条线，这样每组连线是3*6，所以这样算有3*6*3=54条线，但每一条线都被计算过两次(两个端点），因此是54/2=27条
（2）分析方法同上，总数是（2*7+3*6+4*5)/2=26条
(3)最多曲线的情况下就是最少点被浪费的情况，而这个情况自然是每组都有相同数目的点数（也可以用算术平均不等式推出这个结果），假设其中有一组的点数a比另一组...
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（1）对一组内的三个点，每个点可以连6条线，这样每组连线是3*6，所以这样算有3*6*3=54条线，但每一条线都被计算过两次(两个端点），因此是54/2=27条
（2）分析方法同上，总数是（2*7+3*6+4*5)/2=26条
(3)最多曲线的情况下就是最少点被浪费的情况，而这个情况自然是每组都有相同数目的点数（也可以用算术平均不等式推出这个结果），假设其中有一组的点数a比另一组的点数b要多，那么这两组之间的连线数目是：2*ab/2=ab,而如果平均，则连线数目是((a+b)/2)^2,而ab<=((a+b)/2)^2,因此是各组数目相等的时候最多。这时每组都有n/3点，总共有：
3*n/3*2/3*n/2=192
=>n=24
因此至少有24点 ,分成三组每组8个点
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