正方形ABCD的边长＞4CM,如果从距离4个顶点2cm处沿45°角画线,将正方形分成5部分,那么剪出的中间阴影部分的面积是?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 23:13:34

正方形ABCD的边长＞4CM,如果从距离4个顶点2cm处沿45°角画线,将正方形分成5部分,那么剪出的中间阴影部分的面积是?
正方形ABCD的边长＞4CM,如果从距离4个顶点2cm处沿45°角画线,将正方形分成5部分,那么剪出的中间阴影部分的面积是?

正方形ABCD的边长＞4CM,如果从距离4个顶点2cm处沿45°角画线,将正方形分成5部分,那么剪出的中间阴影部分的面积是?
设从AB出发的那条线的起点为E（也就是在AB上的那个点）,从E出发的那条线所到达的阴影部分的第一个点为F（也就是图中阴影部分的左顶点）,设从AD边上出发的那个点为K,过F作AD垂线,垂足为H,过E作FH垂线,垂足为G.
因为都是从正方形边上以45度画线,所以角AEF=135度,由EG垂直FH知角GEF为45度,所以三角形EFG是等腰直角三角形,EG=GF；又因为角AKF=45度,FH垂直AK所以三角形HKF也是等腰直角三角形且HK=HF.现在设AH=x,HK=y,则正方形边长AD=x+y+2,HF=HK=y,HG=AE=2,EG=AH=x,GF=FH-GH=y-2,注意到三角形EGF是等腰直角三角形,EG=GF,所以有关系式 x=y-2.因此每一个四边形,也就是四边形AEFK的面积为矩形AEGH,两个等腰直角三角形HFK与EGF 三部分的面积之和,也就是 2x+ y^2/2+ 1/2*x(y-2)=1/2*xy+1/2*y^2+x,那么四个同样的这样的四边形面积之和就是 4*(1/2*xy+1/2*y^2+x)=2xy+2y^2+4x
另一方面,正方形面积为 (x+y+2)^2=x^2+y^2+4+2xy+4x+4y,减去上面四部分面积之和就等于 x^2-y^2+4y+4 = x^2-(y-2)^2+8,注意到关系式 x=y-2,就有
x^2-(y-2)^2=0,所以所求面积为 8

解:设正方形ABCD的边长为a,且a＞4;
由题意可知中间阴影部分为边长为a-2√2的正方形,
所以其面积S=(a-2√2)^2.