关于勾股定理的证明! 详解!如何证明勾股定理,有没有详细的方法?在线等!

关于勾股定理的证明! 详解!如何证明勾股定理,有没有详细的方法?在线等!
关于勾股定理的证明! 详解!
如何证明勾股定理,有没有详细的方法?在线等!

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【证法1】（梅文鼎证明）
　　作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P. 

　　∵ D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
 ∴ ∠EGF = ∠BED,
 ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
 ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
 ∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
 又∵ AB = BE = EG = GA = c,
 ∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
 ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
 ∴ ∠ABC = ∠EBD.
 ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
 即 ∠CBD= 90°
 又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,
 BC = BD = a.
 ∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
 同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
 设多边形GHCBE的面积为S,则
 ,
 ∴ BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2  
 
【证法2】（项明达证明）
 作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
 过点Q作QP‖BC,交AC于点P.
 过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点
 F作FN⊥PQ,垂足为N.
 ∵ ∠BCA = 90°,QP‖BC,
 ∴ ∠MPC = 90°,
 ∵ BM⊥PQ,
 ∴ ∠BMP = 90°,
 ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°.
 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °,
 ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
 ∴ ∠QBM = ∠ABC,
 又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
 ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2

【证法3】（赵浩杰证明）
 作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.
 分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
 ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
 ∴FI=a,
 ∴G,I,J在同一直线上,
 ∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
 ∠CJB = ∠CFD = 90°,
 ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
 同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
 ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
 ∴∠ABG = ∠BCJ,
 ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
 ∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
 ∵∠ABC= 90°,
 ∴G,B,I,J在同一直线上,
 所以a^2+b^2=c^2

【证法4】（欧几里得证明）
 作三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
 BF、CD.过C作CL⊥DE,
 交AB于点M,交DE于点L.
 ∵ AF = AC,AB = AD,
 ∠FAB = ∠GAD,
 ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
 ∵ ΔFAB的面积等于,
 ΔGAD的面积等于矩形ADLM
 的面积的一半,
 ∴ 矩形ADLM的面积 =.
 同理可证,矩形MLEB的面积 =.
 ∵ 正方形ADEB的面积
 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
 ∴ 即a的平方+b的平方=c的平方

【证法5】欧几里得的证法
 《几何原本》中的证明
 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立.设△ABC为一直角三角形,其中A为直角.从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形.此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等.
 在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下：
 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半.任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）.证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形.
 其证明如下：
 设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB.其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH.画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L.分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA.∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H.∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC.因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC.因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD.因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC.因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2.同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2.把这两个结果相加,AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB^2 + AC^2= BC^2.此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的.