已知圆x^2+y^2+4x+2y+1=0上任意点关于直线mx+ny+1=0(m>0,n>0)的对称点均在圆上,则1/m+1/n的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 06:17:31
已知圆x^2+y^2+4x+2y+1=0上任意点关于直线mx+ny+1=0(m>0,n>0)的对称点均在圆上,则1/m+1/n的最小值

已知圆x^2+y^2+4x+2y+1=0上任意点关于直线mx+ny+1=0(m>0,n>0)的对称点均在圆上,则1/m+1/n的最小值
已知圆x^2+y^2+4x+2y+1=0上任意点关于直线mx+ny+1=0(m>0,n>0)的对称点均在圆上,则1/m+1/n的最小值

已知圆x^2+y^2+4x+2y+1=0上任意点关于直线mx+ny+1=0(m>0,n>0)的对称点均在圆上,则1/m+1/n的最小值
把圆化成(X+2)²+(y+1)²=4 因为圆上任意点关于直线mx+ny+1=0(m>0,n>0)的对称点均在圆上 ,所以 圆心在直线上
有:-2m-n+1=0 2m+n=1 ≥2mn
∴mn≤1/2
∴ 1/mn≥2
∴√1/mn≥√2
∴2√1/mn≥2√2
又 1/m+1/n≥2√1/mn≥2√2
∴最小值为:2√2

依题意,该直线必过圆心,-2m-n+1=0,就是2m+n=1,所以依照公式可知1/m+1/n的最小值是mn取最大值的时候m=1/4,n=1/2,所以最小值是6