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来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 21:36:10
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求 ：当N=2007
N=2010 时,所有a和b的值（a,b均为正整数）

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以[a,b],(a,b)分别表示a,b的最小公倍数和最大公因数.
利用[a,b](a,b)=ab转化条件：
1/a+1/b+n/[a,b]=1/(a,b)
(a+b)/ab+n(a,b)/ab=1/(a,b)
a+b+n(a,b)=[a,b]
记(a,b)=d,则
a/d+b/d+n=(a/d)*(b/d),
(a/d-1)(b/d-1)=n+1,
对于n=2007上式成为：
(a/d-1)(b/d-1)=2008=8*251=1*2008=2*1004=4*502
1.a/d=2,b/d=2009或者a/d=2009,b/d=2
2.a/d=9,b/d=252或者a/d=252,b/d=9（此二组舍去,因为a/d,b/d互质）
3.a/d=3,b/d=1005或者a/d=1005,b/d=3（此二组舍去,因为a/d,b/d互质）
4.a/d=5,b/d=503或者a/d=503,b/d=5
所以a,b的全部值为：
a=2d,b=2009d或者a=2009d,b=2d或者a=503d,b=5d或者a=5d,b=503d其中d是任意正整数.
对于n=2010可得
(a/d-1)(b/d-1)=2011,2011是质数.
故a/d=2,b/d=2012或a/d=2012,b/d=2均不符合互质要求.此时无解.

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