若a,b,c,d都是实数,求证:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 08:11:14
若a,b,c,d都是实数,求证:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2

若a,b,c,d都是实数,求证:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2
若a,b,c,d都是实数,求证:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2

若a,b,c,d都是实数,求证:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2
左=a^2c^2 + a^2d^2 +b^2c^2 +b^2d^2
右=a^2c^2+b^2d^2 +2abcd
左-右=a^2d^2+b^2c^2-2abcd =(ab-cd)^2 >=0
命题得证

(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2
>=a^2c^2+b^2d^2+2√(a^2d^2b^2c^2)
=(ac+bd)^2
所以:
(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2

易知
a^2*d^2+b^2*c^2 >=2abcd
所以
a^2*d^2+b^2*c^2 + a^2*c^2 + b^2*d^2>= 2abcd + a^2*c^2 + b^2*d^2
所以
(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2
命题得证