作业帮问一个关于积分的题1/(x^3 a^3)的积分是多少空格处是一个加号
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 17:15:47
问一个关于积分的题1/(x^3 a^3)的积分是多少空格处是一个加号
问一个关于积分的题
1/(x^3 a^3)的积分是多少
空格处是一个加号
问一个关于积分的题1/(x^3 a^3)的积分是多少空格处是一个加号
x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)
分离成简单分式函数之和
1/[(x+a)(x^2-ax+a^2)]=A/(x+a)+(Bx+C)/(x^2-ax+a^2)
两边同乘(x+a)(x^2-ax+a^2)
1=A(x^2-ax+a^2)+(Bx+C)(x+a)
令x=-a
1=3a^2A
A=1/(3a^2)
令x=0
1=a^2A+aC
C=2/(3a)
令x=a
1=a^2A+2a^2B+2aC
B=-1/(3a^2)
1/[(x+a)(x^2-ax+a^2)]=[1/(3a^2)]/(x+a)+([-1/(3a^2)]x+2/(3a))/(x^2-ax+a^2)
第二个积分拆项
([-1/(3a^2)]x+2/(3a))/(x^2-ax+a^2)
=[-1/(6a^2)](2x-a)/(x^2-ax+a^2)+(a/2)/[(x-a/2)^2+3a^2/4]
对三个分别积分
积分[1/(3a^2)]/(x+a)=[1/(3a^2)]ln|x+a|
积分[-1/(6a^2)](2x-a)/(x^2-ax+a^2)=[-1/(6a^2)]ln|x^2-ax+a^2| (换元t=x^2-ax+a^2)
积分(a/2)/[(x-a/2)^2+3a^2/4]=(a/2)*1/[(根号3/2)a]*arctan((x-a/2)/[(根号3/2)a])
=(1/根号3)arctan((2x-a)/[(根号3)a])
三式相加+C即为所求（第二个积分的绝对值可换为括号因为x^2-ax+a^2=(x-a/2)^2+3a^2/4恒非负）