作业帮棱锥体积公式证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 19:11:08
棱锥体积公式证明
棱锥体积公式证明
棱锥体积公式证明
因为每个三棱柱都可以分割成三个体积相等的三棱椎.因为三楞柱体积V=sh,所以三楞椎体积V=1/3sh
对于三棱锥可以采用拼棱柱的方法,但是对于多棱锥就有点难了,所以要采用其他的方法.现在介绍我的方法:
记底面积为S,高为h
作n个平行于底面的平面将棱锥分成n份,相邻的两个平面的距离为Δh=h/n
从顶点往下第k个截面的面积为S(k)
很容易可以证出每个截面都是相似的,所以面积比为相似比的平方.
S(k)/S=(kΔh/h)²=k²/n&s...
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对于三棱锥可以采用拼棱柱的方法,但是对于多棱锥就有点难了,所以要采用其他的方法.现在介绍我的方法:
记底面积为S,高为h
作n个平行于底面的平面将棱锥分成n份,相邻的两个平面的距离为Δh=h/n
从顶点往下第k个截面的面积为S(k)
很容易可以证出每个截面都是相似的,所以面积比为相似比的平方.
S(k)/S=(kΔh/h)²=k²/n²
所以S(k)=(S/n²)*k²
第k-1个截面的面积S(k-1)=(S/n²)*(k-1)²
由第k个截面和第(k-1)个截面组成的台体的体积应该大于以S(k-1)为底的柱体的体积,而小于以S(k)为底面的柱体的体积,所以
(S/n²)*(k-1)²Δh≤V(k)≤(S/n²)*k²Δh
将所有的式子列出相加得到
(S/n²)∑[(k-1)²h/n]≤∑V(k)≤(S/n²)∑(k²h/n)
即[(n-1)(2n-1)/(6n²)]*Sh≤V≤[(2n+1)(n+1)/(6n²)]*Sh
取极限得到Sh/3≤V≤Sh/3
所以V=Sh/3
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