作业帮证明函数等于零
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 15:39:00
证明函数等于零
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证明函数等于零
由f可导,等式两边求导得:f'(x)+f'(x+1/2) = 2f'(2x).
于是f'(x) = 1/2·(f'(x/2)+f'(x/2+1/2)).
反复利用上式得:
f'(x) = 1/2·(f'(x/2)+f'(x/2+1/2))
= 1/4·(f'(x/4)+f'(x/4+1/4)+f'(x/4+2/4)+f'(x/4+3/4))
= 1/8·(f'(x/8)+f'(x/8+1/8)+f'(x/8+2/8)+f'(x/8+3/8)+f'(x/8+4/8)+f'(x/8+5/8)+f'(x/8+6/8)+f'(x/8+7/8))
...
= 1/2^n·∑{0 ≤ k ≤ n-1} f'(x/2^n+k/2^n).
对任意x ∈ [0,1],该式右端是f'(t)在[0,1]上对应分划0 < 1/2^n < 2/2^n
证明：
在已知等式中，左右同时取x->+∞的极限，
设t=lim(x->+∞) f(x)
得到t+t=t
所以lim(x->+∞) f(x)=t=0
假设f(x)不是个常函数，
那么在一个周期上，必然存在x1和x2，使得函数有f(x1)=a和f(x2)=b两种取值。
所以lim(n->∞) f(x1+n)=f(x1)=a，lim(n->∞)...
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证明：
在已知等式中，左右同时取x->+∞的极限，
设t=lim(x->+∞) f(x)
得到t+t=t
所以lim(x->+∞) f(x)=t=0
假设f(x)不是个常函数，
那么在一个周期上，必然存在x1和x2，使得函数有f(x1)=a和f(x2)=b两种取值。
所以lim(n->∞) f(x1+n)=f(x1)=a，lim(n->∞) f(x2+n)=f(x2)=b
那么，根据极限的唯一性，lim(x->+∞) f(x)不存在。
这与lim(x->+∞) f(x)=0矛盾
所以f(x)是个常函数。
设f(x)=a，带入原等式，得到a+a=a
所以f(x)=a=0
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