作业帮数列求通项公式是通过特征方程求出特征根求得的,请高人证明一下数列的一阶特征方程是怎么回事,我没懂特征根的意思.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 00:48:06
数列求通项公式是通过特征方程求出特征根求得的,请高人证明一下数列的一阶特征方程是怎么回事,我没懂特征根的意思.
数列求通项公式是通过特征方程求出特征根求得的,请高人证明一下数列的一阶特征方程是怎么回事,我没懂特征根的意思.
数列求通项公式是通过特征方程求出特征根求得的,请高人证明一下数列的一阶特征方程是怎么回事,我没懂特征根的意思.
特征根事实上是形式上的结果,实际上是推导出来的
比如著名的斐波那契（Fibonacci）兔子数列（递推公式为an+2=an+1+an,a1=1,a2=1）：
为了求出这个通项：我们用特征根的办法：即解一元二次方程x^2=x+1的根
解得x1=1/2+√5/2,x2=1/2-√5/2
∴设通项公式为an=c1（1/2+√5/2)^ n+c2(1/2-√5/2)^n
代入a1=1,a2=1,求出待定系数c1、c2即是通项我们熟知的通项公式：
an=1/√5 [（1/2+√5/2)^ n-(1/2-√5/2)^n] (n=1,2,3.)
而本质上我们还是用了等差数列与等比数列：
∵an+2=an+1+an
∴若设an+2-k*an+1=p(an+1-kan),就要有：k+p=1,k*p=-1
这样解得k=1/2+√5/2,p=1/2-√5/2（或者k、p值互换,但你可以自己验证结果是一样的）
下面就是求等比数列an+1-(1/2+√5/2)an的时候了,其首项为a2-(1/2+√5/2)a1,公比为1/2-√5/2
求出an+1-(1/2+√5/2)an的通项后再用叠加法就可以求出an的通项了,思路就是这样
那么我们看到解k、p的时候其实就是解了特征方程,所以特征方程就是这么来的!
高一数学竞赛 新课标标准教材 一本白皮书 上面数列特征根讲得很详细
详细的分析请参考下面的连接:
http://zhidao.baidu.com/question/391199613.html?oldq=1
for example,
a(n+2)=3a(n+1)-2a(n)
x^2=3x-2 x1=1 x2=2
这里x1，x2为特征根
a(n)=A*x1^n+B*x2^n
即a(n)=A*1^n+B*2^n
接着题目中一般会有a1，a2的值，将其带入求得A，B即可