已知实数m,n,若m>=0,n>=0,m+n=1,则m^2/(m+2)+n^2/(n+1)的最小值为

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 23:06:02
已知实数m,n,若m>=0,n>=0,m+n=1,则m^2/(m+2)+n^2/(n+1)的最小值为

已知实数m,n,若m>=0,n>=0,m+n=1,则m^2/(m+2)+n^2/(n+1)的最小值为
已知实数m,n,若m>=0,n>=0,m+n=1,则m^2/(m+2)+n^2/(n+1)的最小值为

已知实数m,n,若m>=0,n>=0,m+n=1,则m^2/(m+2)+n^2/(n+1)的最小值为
m^2/(m+2)+n^2/(n+1)
设m+2=a≥2,n+1=b≥1
∴m=a-2 ,n=b-1
m+n=(a+b)-3=1
a+b=4
∴m^2/(m+2)+n^2/(n+1)
=(a-2)^2/a+(b-1)^2/b
=(a^2-4a+4)/a+(b^2-2b+1)/b
=a+4/a-4+b+1/b-2
=(a+b)+(a+b)/a+(a+b)/(4b)-6
=4-6+1+b/a+a/(4b)+1/4
=-3/4+b/a+a/(4b)
∵b/a+a/(4b)≥2√[b/a*a/(4b)]=1
∴-3/4+b/a+a/(4b)≥1/4
即原式的最小值为1/4

.suancuole