已知f(x)=1/1+x∧2 ,x∈R,求f(x)的最大值和最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 13:47:32
已知f(x)=1/1+x∧2 ,x∈R,求f(x)的最大值和最小值

已知f(x)=1/1+x∧2 ,x∈R,求f(x)的最大值和最小值
已知f(x)=1/1+x∧2 ,x∈R,求f(x)的最大值和最小值

已知f(x)=1/1+x∧2 ,x∈R,求f(x)的最大值和最小值
f(x)=1/(1+x^2)
1+x^2≥1
所以当x=0时,f(x)=1/(1+x^2)又最大值为1
f(x)=1/(1+x^2)没有最小值

设x2>x1
f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x1+x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)
所以x<0时,f(x2)-f(x1)>0,是增函数
x>0时,f(x2)-f(x1)<0,是减函数
所以有最大值,最大值f(0)=1

1、首先函数的定义域是R,所以f(-x)=1/[1+(-x)^2]=1/(1+x^2)=f(x),所以f(x)是偶函数。
对f(x)求导得到-2x/(x^2+1)^2,也就是说,x小于0单调增,x大于0单调减
所以在x=0的地方取最大值1