三角形三边长为有理数.证cos A为有理数

三角形三边长为有理数.证cos A为有理数
三角形三边长为有理数.证cos A为有理数

三角形三边长为有理数.证cos A为有理数
设三角形三边长为a、b、c,对应的角为A、B、C.由余弦定理的：
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
因为a、b、c为有理数,所以b^2+c^2-a^2为有理数,2bc也为有理数,
所以cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)为有理数.

有个公式啊：cosA=(b方+c方-a方)/2bc，又都是有理数，又没开方，当时然是有理数！

作为孩子的家长，对高考非常规出题说两句（常规的高中数学内容快30年了，基本忘了，用非常规办法说两句），用不熟练的打字表示出来。难为孩子们了。
23题（理）⊿ABC边长是有理数求证：（1）.cosA是有理数。（2）对于正整数n，cosnA是有理数。
（1） 比较简单，用余弦定理。
（2） 想得完整不简单。（归纳法设n=k时，cosnA和sinnA乘sinA同时为有理数）不易想...

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作为孩子的家长，对高考非常规出题说两句（常规的高中数学内容快30年了，基本忘了，用非常规办法说两句），用不熟练的打字表示出来。难为孩子们了。
23题（理）⊿ABC边长是有理数求证：（1）.cosA是有理数。（2）对于正整数n，cosnA是有理数。
（1） 比较简单，用余弦定理。
（2） 想得完整不简单。（归纳法设n=k时，cosnA和sinnA乘sinA同时为有理数）不易想到。（见扬子晚报答案）。
对非常规出题，可用非常规方法：
cosA是有理数（易证）cos2A=cosA×cosA-sinA×sinA= 2cosA×cosA-1是有理数sinA×sinA也是有理数
cos3A= cos2A× cosA- sin2A×sinA= cos2A× cosA- 2sinA×sinA× cosA是有理数。 sin2A×sinA也是有理数
设B=2A cosB=cos2A是有理数，cos2B也是有理数（方法同cos2A证明）cos4A是有理数
Sin3A×sinA也是有理数
设C=3A cos3A是有理数, cosC是有理数cos6A= cos2C是有理数Sin5A×sinA也是有理数
Cos7A= Cos（5A+2A）= cos5A×cos2A-sin5A×sin2A= cos5A×cos2A-2sin5A×sinA×cosA是有理数Cos7A 可以表示含sin6A×sinA形式sin6A×sinA是有理数
Cos8A= Cos（6A+2A）= cos6A×cos2A-2sin6A×sinA×cosA是有理数sin7A×sinA是有理数
9=7+2 11=9+2同理当n是奇数时可表示前一个奇数+2当n是奇数cosnA是有理数
8=6+2 10=8+2同理当n是偶数时可表示前一个偶数+2当n是偶数cosnA是有理数
（不知道源于一分和二分可一组成无穷多钱的解题思路是否评卷认可）
第14题（填空）.边长1m正三角形沿平行一边剪两块。求梯形周长平方与梯形面积比值s的最小值。
设边长为a 小三角形边长为m , 令x=m/a , k=4除以根号3
S=k(3-x) ^2/(1-x^2)通过烦琐的求导解方程x=1/3 代入得s(分母要有理化)。
也可用非常规方法。
令y= (3-x) ^2/(1-x^2)= (3-x) ^2-4/(1-x^2)+ 4/(1-x^2)=(1-x)(5-x)/((1-x)(1+x))+4/((1-x)(1+x))
=6/(1+x)+4/((1-x)(1+x))-1 00; (1-x)(1+x) >0
由（a^2+b^2≥2ab 当a=b时等号成立）a^2= b^2
6/(1+x)=4/((1-x)(1+x)) 1-x=2/3 x=1/3 可得解。
第12题（填空）设x和y实数，3≤xyy≤8; 4≤xx/y≤9 ,x^3/y^4最大值
变式3/x≤yy≤8/x(式1)；4 y≤xx≤9 y ； xx/9≤y≤xx /4(式2) (根据已知，x＞0；y＞0)
由(式2)得X^4/81≤y^2≤x^4/16 (式3) ，由(式1) (式3)得X^3/27 ≤y^4 X^3/ y^4≤27 答案填27
这样出题难为孩子,是教育的悲哀

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