作业帮正三棱锥V-ABC底面边长为2,侧棱长为3,过底面AB边的截面交侧棱VC于P1.若P是VC中点,求PAB面积2.求PAB面积最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 15:25:03
正三棱锥V-ABC底面边长为2,侧棱长为3,过底面AB边的截面交侧棱VC于P1.若P是VC中点,求PAB面积2.求PAB面积最小值
正三棱锥V-ABC底面边长为2,侧棱长为3,过底面AB边的截面交侧棱VC于P
1.若P是VC中点,求PAB面积
2.求PAB面积最小值
正三棱锥V-ABC底面边长为2,侧棱长为3,过底面AB边的截面交侧棱VC于P1.若P是VC中点,求PAB面积2.求PAB面积最小值
在正三棱锥V—ABC的底面边长为2,侧棱长为3,过底面AB边的截面交侧棱VC于P.
（1）若P为VC的中点,求截面PAB的面积
因为V-ABC为正三棱锥,所以底面ABC为正三角形
侧面VAB、VAC、VBC为三个全等的等腰三角形
所以,△PAC≌△PBC
所以,PA=PB
取AB中点D,连接PD；取BC中点E,连接VE
则,PD⊥AB,即PD为△PABA边AB上的高
VE⊥BC
所以,在Rt△VEC中,cos∠VCE=CE/VC=(BC/2)/VC=1/3
那么,在△PBC中,由余弦定理有：
PB^2=PC^2+BC^2-2PC*BC*cos∠PCB
=(3/2)^2+2^2-2*(3/2)*2*(1/3)
=17/4
而,在Rt△PDB中,由勾股定理有：
PD^2=PB^2-BD^2=(17/4)-1=13/4
所以,PD=√13/2
所以,△PAB的面积=(1/2)*AB*PD=(1/2)*2*(√13/2)=√13/2
（2）求截面PAB的面积的最大值
由(1)的过程可以看出,无论点P在VC上如何移动,都不会改变△PAB是等腰三角形
所以,设PC=x
那么,在△PBC中,由余弦定理有：
PB^2=PC^2+BC^2-2PC*BC*cos∠PCB
=x^2+4-2x*2*(1/3)
=x^2-(4/3)x+4
而,在Rt△PDB中,由勾股定理有：
PD^2=PB^2-BD^2=x^2-(4/3)x+4-1
=x^2-(4/3)x+3
所以,PD=√[x^2-(4/3)x+3]
所以,△PAB的面积=(1/2)*AB*PD=(1/2)*2*√[x^2-(4/3)x+3]
=√[x^2-(4/3)x+3]
=√[(x-2/3)^2+(23/9)]
因为P是在VC上移动,所以：0≤x≤3
对于函数g(x)=x^2-(4/3)x+3在0≤x≤3上就有最大值=g(3)=8
所以,△PAB面积的最大值为√8=2√2
（此时△PAB就是侧面△VAB）