作业帮∫x arcsinx dx 在区间〔0 1〕上要详细过程,谢谢.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 16:10:54
∫x arcsinx dx 在区间〔0 1〕上要详细过程,谢谢.
∫x arcsinx dx 在区间〔0 1〕上
要详细过程,谢谢.
∫x arcsinx dx 在区间〔0 1〕上要详细过程,谢谢.
先抛开区间,区间最后代入
∫x arcsinx dx
=∫ arcsinx d(x^2/2)
=(x^2arcsinx)/2-∫(x^2/2)d(arcsinx)
=(x^2arcsinx)/2-∫[x^2/(2√(1-x^2))]dx
先单独求∫[x^2/(2√(1-x^2))]dx
设x=sint,t∈(-π/2,π/2)
由t的定义域可知cost>0
所以cost=√(1-x^2)
sint=x
t=arcsinx
∫[x^2/(2√(1-x^2))]dx
=∫[(sint)^2/(2cost)]d(sint)
=∫[(sint)^2/2]dt
=∫[(sint)^2/2]dt
因为cos(2t)=1-2(sint)^2
(sint)^2=[1-cos(2t)]/2
所以原式=∫[1-cos(2t)]dt/4
=∫[1-cos(2t)]d(2t)/8
=t/4-sin(2t)/8+C
=t/4-sintcost/4+C
因为cost=√(1-x^2),sint=x,t=arcsinx
所以原式=arcsinx/4-x√(1-x^2)/4+C
所以∫x arcsinx dx
=(x^2arcsinx)/2-[arcsinx/4-x√(1-x^2)/4+C]
=(1/2)(arcsinx)(x^2-1/2)+x√(1-x^2)/4+C
（此处-C可看作C）
把（0,1）代入得
原式=(1/2)(arcsin1)(1^2-1/2)+1√(1-1^2)/4
=arcsin1/4
=(π/2+2kπ)/4
=(1+4k)π/8（k为整数）
换元法
令t=arcsinx，则x=sint
dx=d(sint)=costdt
x∈(0,1)时，t∈(0,π/2)
∫x arcsinx dx x∈(0,1)
=∫tsintcost dt t∈(0,π/2)
=(1/2)∫tsin2t dt t∈(0,π/2)
=-(1/4)∫t d(cos2t) t∈(0,π/2)
=-(1/...
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换元法
令t=arcsinx，则x=sint
dx=d(sint)=costdt
x∈(0,1)时，t∈(0,π/2)
∫x arcsinx dx x∈(0,1)
=∫tsintcost dt t∈(0,π/2)
=(1/2)∫tsin2t dt t∈(0,π/2)
=-(1/4)∫t d(cos2t) t∈(0,π/2)
=-(1/4)(tcos2t-∫cos2tdt) t∈(0,π/2)
=-(1/4)(tcos2t-sin2t/2) t∈(0,π/2)
=-(1/4)(-π/2)
=π/8
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