作业帮证明：如果n*n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn,那么对应每个特征值bi,矩阵A-bi的秩为n-1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 23:20:12
证明：如果n*n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn,那么对应每个特征值bi,矩阵A-bi的秩为n-1
证明：如果n*n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn,那么对应每个特征值bi,矩阵A-bi的秩为n-1
证明：如果n*n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn,那么对应每个特征值bi,矩阵A-bi的秩为n-1
设特征值b1--bn对应的特征向量为 v1--vn.问题显然是对称的,不失一般性,考虑A-b1 .
显然,(A-b1)v1=Av1 - b1v1 = b1v1-b1v1=0,这说明 0 是 A-b1 的一个特征值.
而(A-b1)v2=Av2 - b1v2 = b2v2-b1v2 = (b2-b1)v2,这说明 b2-b1 是A-b1 的一个特征值,其对应特征向量为v2.
同理,b3-b1,b4-b1,.,bn-b1 都是A-b1 的特征值,对应特征向量分别为v3,v4,...,vn.
所以,A-b1 的所有特征值为0,b2-b1,...,bn-b1 .显然,除了0,其他的都不为0,因为b1--bn是各不相同的.这样A-b1 的秩就是 n-1.
同理,其他所有的A-bi的秩也为n-1 .
矩阵减数字？
因为A-bi*I （其中I为n*n的单位矩阵）的特征值为(b1-bi), (b2-bi), ..., (bn-bi)。其中一个且只有一个特征值为(bi-bi)=0。所以，这个矩阵有n-1个不为零的特征值，其秩为n-1。
有个定理，特征值非线性相关
所以，这道题的证明差不多就是这个定理的证明过程
我记得书上有这个定理的证明来着
也可以从相似对角化方法入手：
n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn，则存在可逆矩阵P，使得
（P的逆阵）A P = diag(b1,b2,...bn)
于是 （P的逆阵）（A-bi E）P = diag(b1,b2,...bn) - bi E
（A-bi E）的秩等于diag(b1,b2,...bn) - bi E的秩。
后者 是只...
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也可以从相似对角化方法入手：
n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn，则存在可逆矩阵P，使得
（P的逆阵）A P = diag(b1,b2,...bn)
于是 （P的逆阵）（A-bi E）P = diag(b1,b2,...bn) - bi E
（A-bi E）的秩等于diag(b1,b2,...bn) - bi E的秩。
后者 是只有1个0对角元的对角阵，其秩为 n - 1
所以（A-bi E）的秩等于n - 1
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