作业帮等比数列{an}中,a1+a2+a3+...+an=2的N次方减1,则a1的平方+a2的平方+a3的平方+...+an的平方=?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 22:22:16
等比数列{an}中,a1+a2+a3+...+an=2的N次方减1,则a1的平方+a2的平方+a3的平方+...+an的平方=?
等比数列{an}中,a1+a2+a3+...+an=2的N次方减1,则a1的平方+a2的平方+a3的平方+...+an的平方=?
等比数列{an}中,a1+a2+a3+...+an=2的N次方减1,则a1的平方+a2的平方+a3的平方+...+an的平方=?
由题意
Sn=2^n-1
S(n-1)=2^(n-1)-1
An=Sn-S(n-1)=2^(n-1)
Bn=An^2=(2^(n-1))^2=4^(n-1)
Bn仍旧为等比数列,B1=1,q=4
其和为
Tn=B1*（q^n-1)/(q-1)=(4^n-1)/3
a1+a2+a3+...+an=2^n -1
a1+a2+a3+...+a(n-1)=2^(n-1) -1
上式-下式=an=【2^n -1】-【2^(n-1) -1】=2^(n-1) *(2-1)=2^(n-1)
故：an=2^(n-1)
a1的平方+a2的平方+a3的平方+...+an的平方=
[2^(0)]^2+[2^(1)]^2+[2^(2)]^2+...
全部展开
a1+a2+a3+...+an=2^n -1
a1+a2+a3+...+a(n-1)=2^(n-1) -1
上式-下式=an=【2^n -1】-【2^(n-1) -1】=2^(n-1) *(2-1)=2^(n-1)
故：an=2^(n-1)
a1的平方+a2的平方+a3的平方+...+an的平方=
[2^(0)]^2+[2^(1)]^2+[2^(2)]^2+...+ [2^(n-1)]^2
=1+2^2+2^4+2^6+...+ [2^2(n-1)]
={2^2n -1]/[2^2 -1]
={2^2n -1]/3
收起