已知大于1的实数X,Y满足lg(2X+Y)=lgX+lgY,则lgX+lgY的最小值为?请各位大侠写...已知大于1的实数X,Y满足lg(2X+Y)=lgX+lgY,则lgX+lgY的最小值为?

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已知大于1的实数X,Y满足lg(2X+Y)=lgX+lgY,则lgX+lgY的最小值为?

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∵lg(2x+y)=lgx+lgy
=lg(xy)
∴2x+y=xy
结合题设及基本不等式可得
xy=2x+y≥2√(2xy)
即恒有xy≥(2√2)×√(xy)
∴恒有√(xy)≥2√2
∴xy≥8
等号仅当2x=y且2x+y=xy时取得,即当x=2,y=4时取得
∴lg(xy)≥lg8
即恒有lgx+lgy≥3lg2
∴(lgx+lgy)min=3lg2

2x+y=xy
令t=xy>0, 则y=t/x, 代入等式：2x+t/x=t, 得：2x^2-tx+t=0
delta=t^2-8t>=0, 得：t>=8 or t<=0(舍去）
因此有t>=8, 当x=2, y=4时取等号
所以lgx+lgy=lgxy>=lg8, 即最小值为lg8.