在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AE是角平分线,交CD于点F,AE是角平分线,交CD于点F,EG⊥AB,G是垂足,求证:四边形CEGF是菱形

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 16:23:30
在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AE是角平分线,交CD于点F,AE是角平分线,交CD于点F,EG⊥AB,G是垂足,求证:四边形CEGF是菱形

在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AE是角平分线,交CD于点F,AE是角平分线,交CD于点F,EG⊥AB,G是垂足,求证:四边形CEGF是菱形
在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AE是角平分线,交CD于点F,AE是角平分线,交CD于点F,EG⊥AB,G是垂足,求证:四边形CEGF是菱形

在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AE是角平分线,交CD于点F,AE是角平分线,交CD于点F,EG⊥AB,G是垂足,求证:四边形CEGF是菱形
连接CG与AE交于点O
AE平分角BAC
角ACB=90 ,EG垂直AB
根据叫平分线到两边的距离相等
所以 CE=EG AC=AG
则AO垂直平分CG
又CF=CG
所以角FCG=角FGC
因CD垂直AB,EG垂直AB
所以CD//EG
角CGE=角FCG
则角GCE=角FGC
DG//CE
则四边形CEGF为平行四边形
CE=EG
所以平行四边形CEGF为菱形
∵AE平分∠BAC;
∴AD/AC=DF/CF;AC/AB=CE/BE;
易证:
△ABC∽△ACD;
∴AD/AC=AC/AB;
∴DF/CF=CE/BE;
∵CD⊥AB;EG⊥AB;
∴CD//EG;
∴CE/BE=DG/BG;
∴DF/CF=DG/BG;
∴FG//CE;
∴四边形CEFG是平行四边形;
∵AE平分∠BAC;且CE⊥AC;EG⊥AB;
∴CE=EG;
∴四边形CEFG是菱形