作业帮如图所示,在三角形ABC中,AB=AC,角BAC=120 度,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F,求证：BF=4EF
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 01:41:58
如图所示,在三角形ABC中,AB=AC,角BAC=120 度,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F,求证：BF=4EF
如图所示,在三角形ABC中,AB=AC,角BAC=120 度,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F,
求证：BF=4EF
如图所示,在三角形ABC中,AB=AC,角BAC=120 度,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F,求证：BF=4EF
证明：连接AF,过A作AH⊥BC,交BC与H
∵三角形ABC中,AB=AC,角BAC=120 °
∴∠C=30°,∠CAH=60°
又∵EF是AC的垂直平分线
∴AF=CF=2EF,∠EAF=∠C=30°
∴∠FAH=120°/2- 30°=30°
∴AF=2FH=2EF
∴BH=CH=3EF
∴BF=BH+FH=4EF
连接AF，（1分）
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，（1分）
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FAC=∠C=30°（等边对等角），（2分）
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°...
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连接AF，（1分）
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，（1分）
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FAC=∠C=30°（等边对等角），（2分）
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，（1分）
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），（1分）
∴BF=2CF（等量代换）．
∵直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴CF＝2EF
∴BF=4EF
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