如图,抛物线y=ax2+bx-2经过A（4,0）,B（1,0）两点(1)求出抛物线的解析式；（2)若P是抛物线上x轴上方的一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 10:59:13

如图,抛物线y=ax2+bx-2经过A（4,0）,B（1,0）两点(1)求出抛物线的解析式；（2)若P是抛物线上x轴上方的一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请
如图,抛物线y=ax2+bx-2经过A（4,0）,B（1,0）两点
(1)求出抛物线的解析式；
（2)若P是抛物线上x轴上方的一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标．

如图,抛物线y=ax2+bx-2经过A（4,0）,B（1,0）两点(1)求出抛物线的解析式；（2)若P是抛物线上x轴上方的一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请
(1) y = a(x - 4)(x - 1) = ax² - 5ax + 4a
4a = -2,a = -1/2
b = -5a = 5/2
y = -x²/2 + 5x/2 - 2
(2)
OA = 4,OC = 2,OA :OC = 2 :1
要使以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似,须PM :MA = 2 :1或MA :PM = 2 :1
M(m,0),P(m,-m²/2 + 5m/2 - 2)
MA = 4 - m,MP = -m²/2 + 5m/2 - 2
(i) PM :MA = 2 :1
-m²/2 + 5m/2 - 2 :4 - m = 2 :1
8 - 2m = -m²/2 + 5m/2 - 2
m² - 9m + 20 = (m - 4)(m - 5) = 0
m = 4,点A,舍去
m = 5,x轴下方
(ii)MA :PM = 2 :1
-m²/2 + 5m/2 - 2 :4 - m = 1 :2
m² - 6m + 8 = (m - 2)(m - 4) = 0
m = 2,P(2,1)
m = 4,点A,舍去
(3)
AC定长,显然抛物线过D的切线与AC平行时,AC上的高最大,即△DCA的面积最大.
AC斜率k = (0 + 2)/(4 - 0) = 1/2
切线y = x/2 + d
-x²/2 + 5x/2 - 2 = x/2 + d
x² - 4x + 4 + 2d = 0
∆ = 16 - 4(4 + 2d) = -8d = 0
d = 0
y = x/2
x² - 4x + 4 = (x - 2)² = 0
x = 2
D(2,1)

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