作业帮如图,分别以△ABC的AB,AC边为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE,且使∠ABD=∠ACE,M是BC的中点,试猜想MD和ME有何关系
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 19:08:56
如图,分别以△ABC的AB,AC边为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE,且使∠ABD=∠ACE,M是BC的中点,试猜想MD和ME有何关系
如图,分别以△ABC的AB,AC边为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE,且使∠ABD=∠ACE,M是BC的中点,试猜想MD和ME有
何关系
如图,分别以△ABC的AB,AC边为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE,且使∠ABD=∠ACE,M是BC的中点,试猜想MD和ME有何关系
MD=ME
分别取AB,AC的中点F,G.
分三种情况讨论.
当MD,不过F,ME不过G时,连接D,F；连接E,G,连接F,M；连接G,M.
因为△ABD与△ACE是直角三角形,所以D,E分别在以AB为直径的圆与以AC为直径的圆上.
所以FD=FA,GA=GE.
又FM,GM为中位线,所以FA=GM.GA=FM.
所以、FD=GM.GE=FM.
因为△AFD,△AGE为等腰三角形,且∠DAB=∠EAC,所以∠DFA=∠AGE
因为四边形AFMG为平行四边形,所以∠AFM=∠AGM.
所以△DFM≌△MGE.所以MD=ME.
2.当MD,ME过F,G时,DF=DA=GM.FM=GA=GE.
MD=DF+FM ME=GM+GE,所以MD=ME.
3.当MD,ME中只有一个过对应的中点.
下面说明这是不可能的.
假设上述情况可能,不妨设MD过F,而ME不过G.
显然由1中的部分证明知道∠DAF=∠AGE,∠DFB=∠AFM=∠AGM.
于是180°=∠BFD+∠DFA=∠MGA+∠MGE≠180°显然矛盾.
所以第三种情况不存在.
所以MD=ME.证毕.
相等。
证明要点:取AB、AC中点FG,用SAS证明MFD全等于EGM。从而得出MD=EM.
利用到的定理：平行线成比例线段、RT三角形斜边上中线等于斜边一半。等腰三角形顶角外角等于底角2倍，平行四边形对角相等。