已知f(x)是一个定义在R上的函数,求证明g(x)=f(x)+f(—x)是偶函数,h（x）=f（x）-f（-x)是奇函数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 18:42:48

已知f(x)是一个定义在R上的函数,求证明g(x)=f(x)+f(—x)是偶函数,h（x）=f（x）-f（-x)是奇函数
已知f(x)是一个定义在R上的函数,求证明g(x)=f(x)+f(—x)是偶函数,h（x）=f（x）-f（-x)是奇函数

已知f(x)是一个定义在R上的函数,求证明g(x)=f(x)+f(—x)是偶函数,h（x）=f（x）-f（-x)是奇函数
问题：
已知f(x)是一个定义在R上的函数,求证：(1)、g(x)=f(x)+f(-x)是偶函数；(2)、h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.
证明：
（1）偶函数就是满足：g(x)=g(-x)
g(x)=f(x)+f(-x)
g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)
所以,g(x)=f(x)+f(—x)是偶函数.
（2）奇函数就是满足：h(-x)=-h(x)
h(x)=f(x)-f(-x)
h(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-h(x)
所以,h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

g(x)=g(-x)
g(x)=f(x)+f(-x)
g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)
所以，g(x)=f(x)+f(—x)是偶函数。
h(-x)=-h(x)
h(x)=f(x)-f(-x)
h(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-h(x)
所以，h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。

根据奇、偶函数的定义，在 g(x) 中以 -x 代 x，

若 g(-x) = g(x) 则g(x)是偶函数；若 g(-x) = -g(x) 则g(x)是奇函数。

因为 g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=g(x) ,所以g(x)是偶函数

而 h（-x）=f（-x）-f（x)=-[f（x）-f（-x)]=-h(x) 所以h(x)是奇函数

由题知 g(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(x)+f(-x)=g(x), 所以 g(x)是偶函数
由题知 h(-x)=f(-x)-f(-(-x))=-f(x)+f(-x)=-(f(x)-f(-x))=-h(x), 所以 h(x)是奇函数

由题可知，x属于负无穷到正无穷，
g(x)=f(x)+f(-x），而g（-x)=f(-x）+f（x）=g（x），所以g（x）是偶函数
当x=0时，h（0）=f（0）-f（0）=0，而h（-x）=f（-x）-f（x）=-(f(x)-f(-x))=-h(x),所以h（x）是奇函数。

1.因x在R上，所以定义域关于y轴对称；
2.g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)，所以g(x)是偶函数
3.h(-x)=f(-x)-f(x)
h(-x)+h(x)=f(-x)-f(x)+f(x)-f(-x)=0
所以h(x)是奇函数

g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)所以是偶函数
h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)所以是奇函数

（1 ∵偶函数就是满足：g(x)=g(-x)
∵g(x)=f(x)+f(-x)
g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)
∴g(x)=f(x)+f(—x)是偶函数。
（2）∵奇函数就是满足：h(-x)=-h(x)
又∵h(x)=f(x)-f(-x)
h(-x...

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（1 ∵偶函数就是满足：g(x)=g(-x)
∵g(x)=f(x)+f(-x)
g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)
∴g(x)=f(x)+f(—x)是偶函数。
（2）∵奇函数就是满足：h(-x)=-h(x)
又∵h(x)=f(x)-f(-x)
h(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-h(x)
∴h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。

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