已知x>0,y>0且x+y=1,求证根号(x+1/2)+根号(y+1/2)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 20:18:53
已知x>0,y>0且x+y=1,求证根号(x+1/2)+根号(y+1/2)

已知x>0,y>0且x+y=1,求证根号(x+1/2)+根号(y+1/2)
已知x>0,y>0且x+y=1,求证根号(x+1/2)+根号(y+1/2)

已知x>0,y>0且x+y=1,求证根号(x+1/2)+根号(y+1/2)
楼上两位都不对.
证:
x+y=1
x+1/2+y+1/2=2
[√(x+1/2)]²+[√(y+1/2)]²=2
由均值不等式,得
2[√(x+1/2)]²+[√(y+1/2)]²≥[√(x+1/2)+√(y+1/2)]²
[√(x+1/2)+√(y+1/2)]²≤4
√(x+1/2)+√(y+1/2)≤2

证明:左边和的平方<=4,用到根号(xy)<1/2(x+y)

因为(a+b)^2=a^2+b^2+2ab<= a^2+b^2+ a^2+b^2=2(a^2+b^2),
令a=根号(x+1/2),b=根号(y+1/2)得:
所以[根号(x+1/2)+根号(y+1/2)]^2<=2[(x+1/2)+ (y+1/2)]
=4.
所以结论成立。